CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL (Método Fuffini)

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Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.

Para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

2 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:

En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviéramos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.

Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:

3 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.

Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

5 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:

6 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

7 – Se realiza la suma de la segunda columna:

8 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

9 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.

Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:

Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y  éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:

Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:

Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:

10 – Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:

11 – Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:

Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.

El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:

¿Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado?

El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:

El resultado de la factorización de la ecuación por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:

Por tanto, nuestra ecuación será:

Hasta aquí hemos factorizado la ecuación. Ahora vamos a resolverla:

1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio

2 – Recuerda que cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0.

Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres soluciones (ya que es una ecuación de tercer grado):

Soluciones: -1, -2 y 1